Ljudvågor i luften

Ljudhastigheten

Luften består i huvudsak av gasmolekyler, som i det här sammanhanget kan betraktas som små odeformerbara partiklar. Det ryms mer än 25 miljoner sådana partiklar i varje kubikmikrometer, dvs i en kub med sidolängden en tusendels millimeter. Dessa partiklar är i ständig rörelse och knuffas med sina grannar. Partiklarna rör sig snabbt och slumpmässigt i olika riktningar, dessutom snurrar de kring sina egna axlar. Varje partikel rör sig praktiskt taget rätlinjigt och med konstant hastighet åt sitt håll, tills den kolliderar med en annan. När så sker, ändrar de inblandade partiklarna fart, riktning, och snurr. Partiklarnas genomsnittsfart beror på deras massa. Ju lättare molekyl desto högre fart. Dessutom beror den på temperaturen. Ju varmare det är, desto högre är hastigheten. Värme är ju i själva verket ingenting annat än den slumpmässiga partikelrörelse som vi här talar om.

På grund av det beständiga knuffandet mellan partiklarna tenderar tryck- och densitetsvariationer att utjämnas. Antag att partiklarna inom något område är tätare packade än i omgivningen. Det genomsnittliga tidsintervallet mellan kollisionerna blir då mindre, med andra ord, partiklarna kommer att knuffas mera, dvs. oftare per tidsenhet, och de kommer snabbt att ha knuffat sig isär från varandra. Knuffas det mindre i ett område, så kommer partiklar från omgivningen att tränga sig in där. Molekylerna i gaser håller sig på avstånd från varandra på grund av denna termiska rörelse. Mellan molekylerna i vätskor och i fasta kroppar råder dessutom andra, nämligen elektriska, krafter som i viss mån håller molekylerna på plats. Den termiska rörelsen blir då mindre vidlyftig, men i gengäld snabbare.

Den termiska rörelsen är en förutsättning för ljudvågornas existens. Utbredningen av ljudvågor i luften sker nämligen genom de elastiska stötarna mellan molekylerna. Utbredningshastigheten, dvs. ljudhastigheten, är lika med det effektiva medelvärdet av hastigheten hos molekylernas termiska rörelse.

Ljudhastigheten i en gas är beroende av dess kemiska sammansättning och dess temperatur, men den är så gott som oberoende av gasens tryck och densitet. I luft är ljudhastigheten 331 m/s vid 0 oC och 353 m/s vid 37 oC, exempelvis i talorganet vid utandning. Som jämförelse kan nämnas att den är ca 1500 m/s i vatten och 5 100 m/s i stål.


Tabell 1: Beräkning av ljudhastigheten i gaser.
c  ljudhastigheten (m/s)
T  absoluta temperaturen (K) (= celsiusgrader + 273)
Rm  universella gaskonstanten
M  molar massa (~ molekylmassa)
  kappa (en dimensionslös konstant)

Ljudhastigheten        c = SQRT(T  Rm/M)

                    Rm/M
 
Luft       1,40      287 J/kg K
Helium     1,66     2080 J/kg K

Lufttryck, flöde och impedans

Det absoluta atmosfäriska trycket är ca 100 kPa (kilopascal), eller 1000 hektopascal, som meteorologerna säger för att bibehålla samma numeriska värde som med måttenheten millibar, som de använde förr i tiden. Lufttrycket varierar, som bekant, med väderläget och avtar med ökande höjd över havet. Så länge man studerar tal vid normalt atmosfäriskt tryck behöver man inte bekymra sig om det absoluta lufttrycket, utan man intresserar sig bara för lufttryckets förändringar. Lufttrycket i lungorna är vid inandning ca 1 kPa lägre än det atmosfäriska trycket och vid utandning, när man talar, är det ca 1 kPa högre. Det avviker således med bara ca 1 % från det yttre atmosfäriska trycket.

Vid undersökningar av lufttrycksförhållanden i talapparaten, exempelvis i munhålan eller nedanför glottis, använder man sedan gammalt ett synnerligen enkelt mät- och kalibreringsinstrument som består av ett krökt glasrör som är delvis vattenfyllt och öppen i ena ändan, medan den andra ändan bringas i förbindelse med den kavitet i vilken trycket ska mätas. Tryckskillnader kommer då till uttryck i att vattnets nivå varierar. Nivåvariationen är inom vida gränser oberoende av rörets form och proportionell mot tryckvariationen, som därför fortfarande ibland uttrycks i den föråldrade enheten "centimeter vattenpelare" (cm aq.). För de inom fonetiken aktuella syftena kan man räkna med att 1 cm aq. är lika med 100 Pa, men detta varierar faktiskt något med vädret och höjden över havet. Förr i tiden förekom också ibland att man angav tryck i mm Hg, alltså kvicksilverpelare (1 mm Hg = 1,360 cm aq.).

I läroböcker som behandlar talets produktion, närmare bestämt lufttryck och flöde i talorganet, refereras ibland Boyles lag, som beskriver sambandet mellan tryck och volym hos en given mängd gas. Den säger att produkten av gasens tryck p och volym V är konstant.

p V = konstant  (p1 V1 = p2 V2)                   (2)

Man kan se ur ekvation (2) att trycket hos en gas ökar om man minskar dess volym, till exempel när man pumpar upp sin cykel. Om man gör något sådant, får man emellertid ytterligare en effekt, som Boyles lag inte beskriver, nämligen den att gasens temperatur ökar. Man kan lätt övertyga sig om detta genom att känna på luftpumpen före och efter användning. Boyles lag gäller egentligen endast för isoterma tillståndsändringar, hos vilka gasens temperatur hålls konstnat genom att värme bortförs eller tillförs.

Även om Boyles lag får duga när kraven på kvantitativ noggrannhet är små, så ska man vara medveten om att dess tillämpning utgör en approximation. Sambandet mellan tryck och volym hos en given mängd gas beskrivs mera allmänt av ekvation (3),

p Vn = konstant  (p1 V1n = p2 V2n),                 (3)

där 1 < n < . Om man i ekvation (3) sätter n = 1, så får man Boyles lag; om man sätter n = , så får man Poissons lag, som gäller för det fall då ingen temperaturutjämning hinner ske. I praktiken ligger n alltid någonstans mellan dessa ytterligheter. För värden på se Tabell 1. Allmänt gäller även att

p V/T = konstant  (p1 V1/T1 = p2 V2/T2),            (4)

där T är gasens absoluta temperatur (i Kelvin).

Luftflödet U i ett rör, eller i talorganet, definieras som den mängd luft som strömmar genom en vald snittyta per tidsenhet. När det gäller andning och talproduktion så får man hanterliga siffervärden om man anger det i cm3/s. Luftflödet bestäms av tryckfallet p, dvs. skillnaden i lufttryck mellan rörets ändar och av rörets impedans Z, dvs det motstånd som luften erfar när den strömmar genom röret. Det tre storheterna U, p, och Z, hänger ihop enligt ekvation (5), alltså på samma sätt som elektrisk ström, spänning, och motstånd i Ohms lag.

U = p/Z. (5)

Den akustiska impedansen Z är dock inte linjär, utan den kan sägas vara sammansatt av en linjär och en kvadratisk komponent. Mera allmänt gäller enligt Kenneth N. Stevens (1980)

p = k1 U + k2 r U2/2 A2, (6)

där k1 i den första termen motsvarar den linjära komponenten av Z, medan den andra termen, där passagens snittyta A ingår i nämnaren, representerar den kvadratiska komponenten.

Ljudtryck

En akustisk händelse kan beskrivas genom en kontinuerlig mätning av lufttrycket i en given observationspunkt. Detta görs normalt med en mikrofon, som levererar en elektrisk signal vars amplitud är proportionell mot lufttryckets avvikelse från sitt medelvärde. Storleken hos den avvikelsen är normalt mycket liten jämfört med det absoluta lufttrycket. När man talar om ljudtryck, så avser man denna avvikelse hos lufttrycket från sitt genomsnittliga värde. Ljudtrycket hos en sinuston med en frekvens på 1000 Hz behöver inte vara större än 20 µPa för att tonen ska bli uppfattbar för en lyssnare med fullgod hörsel. Hörselns dynamik är dock ofantlig. Om vi vill höja sinustonens nivå så mycket att smärtgränsen nås, så måste vi höja ljudtrycket med en faktor större än 106. När det gäller ljudtrycket, så måste man skilja mellan dess momentanvärde p(t) som funktion av tiden, som man kan avläsa ur ett oscillogram, och dess effektivvärde peff, som är ett slags medelvärde, uppmätt för ett visst tidsintervall. Det definieras som trycket hos en statisk puls med samma energiinnehåll. Medan p(t) antar både positiva och negativa värden, så är peff alltid positiv. Hos sinustoner gäller sambandet

peff = pmax/SQRT(2),   peff = 0.707 pmax,                 (7)
där pmax är ljudtryckets momentanvärde hos sinustonens amplitudmaximum, se figur 1. På engelska refererar man till peff som root mean square (r.m.s.) pressure.

På grund av hörselns stora dynamikområde är det i vissa sammanhang opraktiskt att ange amplituden hos ljud i ett linjärt mått som ljudtrycket p (i pascal, Pa). Man använder i stället ett logaritmiskt mått på ljudtrycket, med benämningen ljudtrycksnivå eller ljudnivå L, som man uttrycker i decibel (dB). I angloamerikansk litteratur kallas den oftast sound pressure level och förkortas till SPL. Sambandet mellan storheterna p och L ges av formeln

L (i dB) = 20 log(peff/p0),                     (8)

där p0 står för ett referenstryck som enligt en allmänt vedertagen konvention har satts till p0 = 20 µPa, vilket är det ungefärliga läget av hörtröskeln vid 1000 Hz.

Enheten bel, benämnd efter telefonens uppfinnare, Alexander Graham Bell, är primärt tänkt för att ange förhållandet mellan effekterna hos signaler (power ratio). En signal med en effekt på 10 Watt har en nivå som är 1 bel högre än en signal med en effekt på 1 Watt. I praktiken uttrycker man sig nästan alltid i decibel (dB), eftersom man då får lagom stora siffervärden att hantera. Orsaken till att vi har en faktor 20 i stället för 10 i ekvation (8) är den att effekten hos ljud är proportionell mot kvadraten på ljudtrycket. När man har att göra med en elektrisk representation av ljud, vilket oftast är fallet i det praktiska arbetet, så gäller på samma sätt att effekten är proportionell mot kvadraten på spänningen hos talsignalen, som mäts i Volt. Vad gäller förhållandet mellan spänningens momentanvärde och dess effektivvärde så gäller också samma resonemang som för ljudtrycket.

Det är lämpligt att lägga på minnet att ljudnivån ökar med ganska precist 3 dB vid en fördubbling av effekten och med 6 dB vid en fördubbling av ljudtrycket.

oscillogram

Fig. 1. Ett oscillogram som visar ljudtrycket av en sinuston som funktion av tiden. Här har valts linjära skalor för både ljudtryck och tid.

spektrogram

Fig. 2. Ett spektrogram* som visar ljudtrycksnivån av en sinuston - samma som i figur 1 - som funktion av frekvensen. För ljudtrycksnivån har här använts en linjär skala, som motsvarar en logaritmisk skalering av ljudtrycket, och även frekvensen är logaritmiskt skalerad.
* (Det här är den allmänna betydelsen av "spektrogram", men fonetiker avser därmed vanligen en tredimensionell representation, med tid på x-axeln och frekvens på y-axeln, medan ljudtrycksnivån representeras av svärtningsgraden.)


Tabell 2: Tryckenheter.
Pascal          1 Pa = 1 N/m2 (allmän standard)

Tidigare brukliga enheter, bl. a.: Mikrobar 1 µb = 1 dyn/cm2 = 0,1 Pa Centimeter vattenpelare 1 cm aq. ca 100 Pa Atmosfäriska trycket ca 100 000 Pa

Hörbara tryckförändringar Sinuston med frekvensen 1000 Hz Normal hörtröskel (p0 ) 0 dB (SPL) = 20 µPa Smärtgräns (högre än) 120 dB (SPL) = 20 Pa


Intensiteten I hos ljud är definierad som effekt per ytenhet (W/m2). Ytan ifråga antas därvid ligga vinkelrätt mot ljudets utbredningsriktning. I är proportionell mot kvadraten på trycket p. Sambandet beskrivs av ekvationen

I = p2/( c)                      (9)

där är mediets densitet (1,29 kg/m3 för luft vid 0 oC) och c är ljudhastigheten. Produkten av och c är vågimpedansen Z.

Effekten hos en ljudvåg som utbreder sig genom luften dämpas inte mycket på sin väg genom luften, utan ljudets intensitet avtar främst därför att effekten fördelar sig över vågfrontens ökande yta. När ljudet kan utbreda sig fritt, så ökar den ytan med kvadraten på avståndet från källan, och intensiteten avtar i omvänd proportion därtill. Ljudtrycksnivån avtar alltså med 6 dB vid en fördubbling av avståndet från källan. Detta enkla samband gäller i det fria eller i ett ekofritt rum, medan förhållandena i rum med reflekterande väggar blir mycket komplicerade och frekvensberoende.

Referens:

Kenneth N. Stevens (1980) Physiological and Acoustic Phonetics, kompendium, Institutionen för lingvistik, Stockholms universitet.

Räkneuppgifter:

(1) Beräkna ljudhastigheten i (a) luft, och (b) helium, vid 20 oC.

(2) På sidan 4 i Stevens (1980) finns ett exempel på tillämpning av Boyles lag. Det går ut på att beräkna hur mycket extra luft som strömmar in i ansatsröret (volym 70 cm3) när trycket höjs med 10 cm aq. Gör nu om denna beräkning med ekvation (3) och det maximala värdet på exponenten n, för att se hur stort fel approximationen med Boyles lag kan medföra.

(3) Hur stor är för en just hörbar 1000 Hz ton (a) dess intensitet, och (b) den effekt som når trumhinnan. Räkna med en effektiv yta på 1 cm2.

(4) Vid ett avstånd på 1 m från en punktformig ljudkälla i det fria har man mätt ett ljudtryck på 100 mPa. Hur stort är ljudtrycket vid ett avstånd på 10 m?


Hartmut Traunmüller | Avd. för fonetik | Inst. för lingvistik | Stockholms Universitet